交互式 Rollup [db:标签]案，比如我们的 Arbitrum Rollup，通过让某个验证者断言执行结果、而其他验证者可以挑战断言的方式，来加速智能合约的执行。如果挑战期过去，而没有任何人提出挑战，则该断言就被认为是真的，然后系统就推进。一般情况下，断言都会是对的，挑战也是很少出现的，所以一条 Rollup 侧链就能比链上合约更快推进、开销也更低。
但，挑战期应该设成多长呢？在本文中，我将指出，有些因素会使我们希望有更长的挑战时间，某些因素正好相反。我会推导出一个旨在最小化侧链整体运行成本的最优挑战期公式。
长挑战期的好处
众所周知，更长的挑战时间就是更安全，因为审查攻击的难度会变得更高。恶意行动者可能会尝试报一个虚假断言，然后审查尝试挑战断言的交易，直到挑战期过去。但是，挑战期越长，这样的攻击就越不可能成功。
一种看起来可行的模型是定义挑战期时长为 C（个区块），而审查攻击成功率随 C 的增长而呈指数级下降。如果整个 Rollup 侧链的价值（也就是一名攻击者将侧链上的所有资产洗劫一空可获得的最大价值）是 V，那么攻击者能盗取的价值预计为 V·e^(-AC)，A 为常数。
那么，为了阻止这样的攻击，我们就需要断言者先存储，比如 10V·e^(-AC)，的价值，如果攻击失败，攻击者要付出的代价会远大于其攻击预期收益。
但这样就为诚实的断言者施加了同样的成本，他们也必须锁定同样规模的资金。如果协议设计良好而且底层链也活跃，那么一般来说恰好会有一位诚实断言者存储了这么多保证金。那么，单位时间内的成本就是保证金规模乘以一个名义利率。
挑战期越长，保证金规模就可以越小，所以 —— 更长的存款时间可以降低侧链的（这部分）运营总成本。
短挑战期的好处
要从侧链中取钱的人当然喜欢更短的挑战期，因为用户取款之后要等一个挑战期走完，钱才算真正回到了底层链上。从用户的角度来看，在挑战期中，他们的钱是完全被锁定的。
（用户可以找到流动性提供者来马上取得现钱，代价是提供者会在稍后收到用户取出的资金。但这只是暂时把锁定资金的成本转嫁给了流通性提供者，而用户必须给提供者支付手续费 —— 所以其实还是用户要支付资金锁定的成本）
我们可以这样建模：假设在一个平均区块时间内，有比例为 W 的资金要退出。那么，在任一时间点，锁定的取款数量就是 CWV（W 乘以 V 是一个区块的取款数量，而任一时刻都有前面 C 个区块的取款仍在锁定中），因此侧链用户的成本就是这个数值乘以一个利率。
因为这个成本也跟 C 成比例，因此更短的挑战期能够降低（这部分的）运营成本。
找出最优挑战时长
最优的挑战市场会是某种折中，即两项成本的总和是最小化的。有趣的是，两个方面的成本都是由资金锁定带来的，就是锁定的资金数量乘以假设的利率。因此，挑战期最优时长就跟利率无关了 —— 只需最小化锁定资金的总数量（断言者锁定的保证金 + 用户锁定的取款数量）即可。
从等式来看，任一时间点，锁定的资金总量（平均来说）是：
10V * e^(-AC) + CWV
因为 V 在两项中都有，所以它不会影响最小值点。最小值点会出现在 10×e^(-AC) + CW 最小的时候。只需对 C 求导，令倒数值为 0，就可以解出最小值点处的 C。
结果就是 C= ln（10A/W）/A 。
这个值对实践有什么意义？我们可代入一些还算可靠的数字，如上图所示。我们假设 A 使得攻击者在一个区块的时间内持续审查成功的成功率高达 99%，即 A = -ln(0.99) = 0.01。再假设每天都有 1% 的资金要取出，那么按 15 秒的区块时间算，每个区块的取款比例约为 W = 0.000002。把这些假设代入公式，可得最优挑战期为 C = 1081 个区块，约为 4.5 小时
那么成本到底有多高？在任一时间点，都有约等于侧链全部资产价值的 0.2% 以不同方式锁定。如果名义利率是 5%，那么结果就是：总的锁定成本约为每年对侧链的总价值征收 0.01% 的税收。只需付出这么低的代价，你就能得到一条（比底层链）更快、Gas 消耗量更小，更可扩展的侧链。
（完）
原文链接：https://medium.com/offchainlabs/optimizing-challenge-periods-in-rollup-b61378c87277作者: Ed Felten翻译: 阿剑
